一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项吕，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合 ， ， ，则集合 是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
，故选D
2． 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 A
对于B，定义域不对称，对于C，D， ，故选A．
3． 已知直线 ，则下列直线中，与 平行的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 A
4． 直线 的图象如图所示，则函数 在 上
A．为增函数 B．为减函数
C．为常数函数 D．单调性不确定
【解析】 B
由图可知 时， ∴
当 时， ∴
∴ 为减函数。
5． 下列命题正确的是（ ）
A．经过三点，有且仅有一个平面
B．经过一条直线和一个点，有且仅有一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D．四边形确定一个平面
【解析】 C
对于A，须为不共线的三点。
对于B，点须不在直线上
对于D，四边形可为空间四边形
6． 在三棱锥 中， ， 平面 ， ．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）
A． B．1
C． D．
【解析】 D
左视图如图
7． 已知平面 平面 ，下列命题
①平面 内的直线一定垂直于平面 内的直线
②平面 内的直线一定垂直于平面 的无数条直线
③平面 内的任一条直线必垂直于平面
④过任意一点作平面 和平面 交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
其中正确的命题序号是（ ）
A．①② B．①③ C．② D．④
【解析】 A
对于①②，在 内作 垂直于 的交线，在 内平行于 的直线都垂直于 故②正确
对于③不正确，对于④此点需要在 内。
8． 在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 Ｂ
在正方体 中，设三棱锥的底面为 ．
在正方体的表面上，离三棱锥底面 最远的点，一定可以在正方体的顶点处取得．此时，三棱锥的体积最大。固定住这个点，以这个点为三棱锥底面的一个点，则三棱锥的顶点一定可以在正方体的顶点处取得，同理，三棱锥体积最大时，三个顶点必在正方体的顶点处取得.
故正方体8个顶点中四个顶点形成三棱锥的体积最大的那个即为所求．
由于三棱锥四个顶点不共面，故在面 和面 中，分别可能有三棱锥的 ， ， 个顶点，其中 和 是对称的．
故只需讨论 和 的情形．
若为 ，在底面，不妨取 顶点可为 ，三棱锥体积都为 ，
若为
则在底面可取 或 ．
若为 ，顶面可取 ， ，三棱锥体积 ．
若为 ，则顶点可取 此时
故选B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
9． 幂函数 的图象经过点 ，则 _____________．
【解析】
，∴ ．∴ ．∴
10．一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为_____________．
【解析】 6
．∴
11．已知函数 ，若 是 的零点，则 的值为___________．
【解析】 1或
∴ ．∴
∴ ∴ ∴ 或
12．二次函数 满足 ， ，那么 _____________．
【解析】 设 ∴
∴ ∴
13．一个边长为 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积 表示成 的函数为______________．当 时，这个容器的容积为________ ．
【解析】 ，
如图所示，白色的三角形的面积为 ，正四棱锥的侧面积为
如图所示， ，
,在直角三角形 中， ，
14．已知函数 ，其中 ， ，
设集合 ，若 中的所有点围成的平面区域面积为 ，则 的最小值为__________．
【解析】
， 为 时的值域的长度 ．
中的所有点围成的平面区域面积为
或 或
， 为奇函数.
当 时， ， 单调递增。
由对称性画出草图
要使 的值域最小
当 时 的值域最小.
此
三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分10分）
已知函数
⑴ 求函数 的定义域；
⑵ 判断函数 的奇偶性；
⑶ 求 的值．
【解析】 ⑴ ∴ ∴定义域为
⑵
∴ 为偶函数
⑶
16．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为平行四边形，其中 为坐标原点，且点 ， ．
⑴ 求线段 中点坐标；
⑵ 过点 作 垂直 于点 ，求直线 的方程；
⑶ 求四边形 的面积．
【解析】 ⑴ 设 中点为 ．
∵四边形 为平行四边形
∴ 为 中点
∴ 点坐标为
⑵ ∵ 、 关于 对称
∴ 点坐标为
∴ 点坐标为
∴
∴直线 的直线方程为
∴ 。
⑶
∴ 。
17．（本小题满分12分）
如图，长方体 中， ， ，点 为
的中点．
⑴ 求证：直线 平面 ；
⑵ 求证：平面 平面 ；
⑶ 求证：直线 平面 ．
【解析】 ⑴ 设 与 交于 。
∴ 、 分别为 、 中点 ∴ ∴ 面 面
∴ 面 。
⑵ ∵ ∴ 面
而 面 ∴面 面
⑶ 由⑵知
∴
∴
∴ 面 。
18．（本小题满分10分）
函数 的定义域为 ，且 的值不恒为0，又对于任意的实数 ， ，总有 成立．
⑴ 求 的值；
⑵ 求证： 对任意的 成立；
⑶ 求所有满足条件的函数 ．
【解析】 ⑴ 令
∴ ∴
⑵ 令
∴
∴对于任意的
∴即证
⑶
令
∴
当 时恒成立，当 时有，
∴
∴
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