命题人 黄冈蕲春一中 高级教师刘杰峰
一、选择题：（5*12=60分）
1．函数y＝3sin(π3―2x)―cos2x的最小值为( )
A．―3―1 B．－1 C．－3 D．0
2．函数y＝2(sin2πx－1)的最小正周期与最小值分别为( )
A．π与－1 B．π与－2 C．1与－1 D．1与－2
3．方程2|x|＝cosx的实根个数是( )
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
4．为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B．197π2 C．199π2 D．100π
5．先将函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位，再将所得图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式是( )
A．y＝sin(－2x＋π3)
B．y＝sin(－2x―π3)
C．y＝sin(－2x＋2π3)
D．y＝sin(－2x―2π3)
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象为下图所示．则函数的解析式是( )
A．y＝2sin(x2－2π3) B．y＝2sin(x2＋4π3)
C．y＝2sin(x2＋2π3) D．y＝2sin(x2－π3)
7．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点中心对称的充要条件是(k∈Z)( )
A．φ＝π2 B．φ＝kπ＋π2 C．φ＝kπ D．φ＝2kπ－π2
8．函数y＝1＋sinx－cosx1＋sinx＋cosx的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．亦奇亦偶函数 D．非奇非偶函数
9．下列函数中，周期为π，且在(0, π2)上单调递增的是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|cotx| C．y＝|sinx| D．y＝|cosx|
10．如果θ角的终边过点P(cos5π12＋sin5π12，cos5π12－sin5π12)，则θ的一个可能的值为 ( )
A．π6 B．5π6 C．5π3 D．11π6
11．函数f(x)＝sinx，x∈[π2,3π2]的反函数f－1(x)＝( )
A．―arcsinx x∈[―1,1] B．―π―arcsinx x∈[―1,1]
C．π＋arcsinx x∈[－1,1] D．π―arcsinx x∈[―1,1]
12．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A≠0，ω＞0,－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点(0, 12) B．f(x)的图象在[5π12,2π3]上递减
C．f(x)的最大值为A D．f(x)的一个对称中心是点(5π12,0)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：（16分）
13．函数y＝sin(π4－2x)的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
14．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)为偶函数，则tanθ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
15．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
16．关于函数f(x)＝cos(2x－π3)＋cos(2x＋π6)，有下列命题：
①f(x)的最大值为2；
②f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③f(x)在区间(π24,13π24)上单调递减；
④将函数y＝2cos2x的图象向左平移π24个单位后，将与f(x)的图象重合，其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿
三、解答题：（74分）
17．（12分）已知函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x. x∈R．
(1)求函数的最小正周期．
(2)函数的图象可由函数y＝2sin2x的图象经过怎样的变换得出？
18．（12分）
已知函数y＝3sin3x．
(1)作出函数在x∈[π6,5π6]上的图象．
(2)求(1)中函数的图象与直线y＝3所围成的封闭图形的面积．
19．（12分）已知函数f(x)＝5sinxcosx－53cos2x＋532.(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求f(x)图象的对称轴，对称中心．
20．（12分）已知y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0, ω＞0)的图象过点P(π12,0)图象上与点P最近的一个顶点是Q(π3,5)．
(1)求函数的解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
21．（12分）函数f(x)＝1―2acosx―2a―2sin2x的最小值为g(a)，(a∈R)．求：
(1)g(a)；
(2)若g(a)＝12，求a及此时f(x)的最大值．
22．（14分）关于x的方程8x2－6kx＋2k＋1＝0(k为常数)的两根能不能是某一直角三角形的两个锐角的正弦？若能，求出k的值；若不能，说明理由．
答案：
1．B 解：y＝3(32cos2x―12sin2x)―cos2x＝sin(π6―2x)≥―1．
2．D 解：y＝2(1－cos2πx2－1)＝―cos2πx―1．
3．D4．B ∵T＝2πω，∴4914T＝197π2ω≤1 ω≥197π2．
5．D6．C7．B 解：∵(x,y)与(―x,―y)关于原点对称，∴―cos(―3x＋φ)＝cos(3x＋φ)．和差化积得2cosφ•cos3x＝0，∵cos3x不恒为零，∴cosφ＝0 φ＝kπ＋π2(k∈R)．故选(B)
8．D 解：令1＋sinx＋cosx≠0 sin(x＋π4)≠－1 2 x＋π4≠2kπ＋5π4或2kπ－π4．
∴x≠2kπ＋π或x≠2kπ－π2．k∈Z．∴定义域关于原点不对称．∴选(D)．
9．C
10．D 解：tanθ＝cos5π12－sin5π12 cos5π12＋sin5π12，＝1－tan5π121＋tan5π12＝tanπ4－tan5π121＋tanπ4tan5π12＝tan(π4－5π12)
＝tan(－π6) ∴θ＝kπ－π6 又cos5π12＋sin5π12＞0，cos5π12－sin5π12＜0
∴θ为第四象限角，∴θ＝2kπ－π6(k∈z)，故选D．
11．D 解：∵x∈[π2,3π2]，x―π∈[―π2,π2]，－y＝sin(x－π)
∴x－π＝arcsin(－y)， y＝π―arcsinx x∈[―1,1]．
12．D 解：T＝π．∴ω＝2．点(x,y)关于x＝2π3的对称点为(4π3―x,y)．代入得：sin[2(4π3－x)＋φ]＝sin(2x＋φ) sin(2π3－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)．化积得2cos(π3＋φ)•sin(2x－π3)＝0．∴cos(π3＋φ)＝0 φ＝π6．∴f(x)＝Asin(2x＋π6)．再用检验法．
13．[kπ＋3π8,kπ＋7π8]．k∈Z
14．－33 解：sin(－x＋θ)＋3cos(―x―θ)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ) 3[cos(x＋θ)―cos(x―θ)]＝sin(x＋θ)＋sin(x―θ) ―23sinθsinX＝2sinXcosθ．
∵sinX不恒为0．∴tanθ＝－33．
15．[－4,4] 解：a＝―(sinx―2)2＋5． sinx∈[－1,1]
∴a∈[－4,4]．
16．①②③ 解：f(x)＝2cos(2x―π12)•cos(―π4)＝2cos(2x－π12)．易知①、②、③成立．
17．y＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋π4)＋2．
(1)T＝π，
(2)将y＝2sin2x的图象向左平移π8个长度单位，再向上平移2个单位长度即得．
18．利用对称性．S＝(5π6－π6)×3＝2π．
19．解：f(x)＝52sin2x－532(1＋cos2x)＋532＝5sin(2x－π3)．
∴(1)T＝π．
(2)令2kπ―π2≤2x―π3≤2kπ＋π2 在[kπ－π12,kπ＋5π12](k∈Z)上单增，在[kπ＋5π12, kπ＋1112π](k∈Z)上单减．
(3)对称轴为x＝kπ2＋5π12(k∈z)，对称中心为(kπ2＋π6,0)(k∈z)．
20．解：(1)由过(π3,5)知A＝5．T4＝π3－π12＝π4，
∴T＝π, ω＝2．将Q(π3,5)代入y＝5sin(2x＋φ)得φ＝－π6．
∴函数解析式为y＝5sin(2x－π6)．
(2)由2kπ―π2≤2x―π6≤2kπ＋π2．
得增区间为[kπ－π6,kπ＋π3].k∈Z．
(3)5sin(2x－π6)≤0 2kπ＋π≤2x－π6≤2kπ＋2π．
x∈[kπ＋7π12,kπ＋1312π].k∈Z．
21．解：f(x)＝2cos2x―2acosx―2a―1＝2(cosx―a2)2―a22―2a―1．
(1)当a2＜－1即a＜－2时．g(a)＝1 . (此时cosx＝－1)．
当－1≤a2≤1即－2≤a≤2时．g(a)＝―a22―2a―1． (此时cosx＝a2)．
当a＞2时，g(a)＝2―2a―2a―1＝1－4a． (此时cosx＝1)．
∴g(a)＝1．(a＜－2)―a22―2a―1 (―2≤a≤2)1－4a (a＞2)． ．
(2)∵g(a)＝1．显然a＜－2和a＞2不成立．
∴―a22―2a―1＝12．－2≤a≤2． a＝－1或－3(舍)．
∴f(x)＝2cos2x＋2cosx＋1＝2(cosx＋12)2＋12．
∴当cosx＝1时，f(x)max＝5．
22．解：假设能，且A、B为这直角三角形的两锐角，则有
△＝36k2－32(2k＋1)＞0．①sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝6K8＞0．②sinAsinB＝sinAcosA＝2k＋18＞0．③ 9k2―16k―8＞0．k＞0．k＞－12．
②2－③×2得：9k2―8k―20＝0．k＝2或－109．(舍)．
当k＝2时．代入③得sinA•sinB＝sinA cosA＝12sin2A＝2k＋18＝58．
∴sinA＝54＞1不成立．故不可能．
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