一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则sin α的值等于( )
A．－35 B.35
C.45 D．－45
2．已知cosπ2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( )
A．－33 B.33
C．－3 D.3
3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tanα＋π4＝( )
A.15 B.17
C．－1 D．－7
4．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移12个单位
D．向右平移12个单位
5．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B.－2，12∪12，＋∞
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
7．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝π2，φ＝π4
B．ω＝π3，φ＝π6
C．ω＝π4，φ＝π4
D．ω＝π4，φ＝5π4
8．若α∈π2，π，且sin α＝45，则sinα＋π4－22cos(π－α)等于( )
A.225 B．－25
C.25 D．－225
10．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则 的最大值是( )
A．2
B．1＋2
C．π
D．4
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在0，π2单调递减
B．f(x)在π4，3π4单调递减
C．f(x)在0，π2单调递增
D．f(x)在π4，3π4单调递增
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
13．已知cos x＝2a－34－a，x是第二、三象限的角，则a的取值范围为________．
14．已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a•b＝0，则实数k的值为________．
15．y＝3－ 2cos3x＋π6的定义域为________．
16．有下列四个命题：
①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β；
②若函数y＝2cosax－π3的最小正周期是4π，则a＝12；
③函数y＝sin2x－sin xsin x－1是奇函数；
④函数y＝sinx－π2在[0，π]上是增函数．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)化简：sin（540°－x）tan（900°－x）•
1tan（450°－x）tan（810°－x）•cos（360°－x）sin（－x）.
18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P45，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求式子sinπ2－αsinα＋π•tan（α－π）cos（3π－α）的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x.
(1)求f(x)的最小值及最小正周期；
(2)求使f(x)＝3的x的取值集合．
21．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤π2)的图像与y轴交于点(0，1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
22．(本小题满分12分)已知M(1＋cos 2x，1)，N(1，3sin 2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，且y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图像可由y＝2sinx＋π6的图像经过怎样的变换而得到；
(3)函数y＝g(x)的图像和函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求y＝g(x)的表达式，并比较g(1)和g(2)的大小．
答案
1．解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45.
2．解析：选D 由cosπ2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝3.
3．解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan α•tan π4＝43＋11－43＝－7.
4．解析：选C y＝cos 2x的图像向左平移12个单位后即变成y＝cos 2x＋12＝cos(2x＋1)的图像．
5．解析：选B 当a，b共线时，2k－1＝0，k＝12，此时a，b方向相同夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a•b＞0且a，b不共线．由a•b＝2＋k＞0得k＞－2，且k≠12，即实数k的取值范围是－2，12∪12，＋∞，选B.
6.
7．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝π2，φ＝π4
B．ω＝π3，φ＝π6
C．ω＝π4，φ＝π4
D．ω＝π4，φ＝5π4
解析：选C ∵T＝4×2＝8，∴ω＝π4.
又∵π4×1＋φ＝π2，
∴φ＝π4.
8．解析：选B sinα＋π4－22cos(π－α)
＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.
∵sin α＝45，α∈π2，π，
∴cos α＝－35.
∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.
9.
10．
11．解析：选A y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，
所以y＝2cos 2x，在0，π2单调递减．
12.
.
13．解析：－1＜cos x＜0，－1＜2a－34－a＜0，2a－34－a＜0，2a－34－a＞－1.
∴－1＜a＜32.
答案：－1，32
14．解析：由题意知：a•b＝(e1－2e2)•(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1e2－2ke1e2－2e22＝0，即k＋cos 2π3－2kcos 2π3－2＝0，化简可求得k＝54.
答案：54
15．解析：∵2cos3x＋π6≥0，
∴2kπ－π2≤3x＋π6≤2kπ＋π2，
∴23kπ－2π9≤x≤23kπ＋π9(k∈Z)，
函数的定义域为{x|23kπ－29π≤x≤23kπ＋π9，k∈Z}．
答案：{x|23kπ－29π≤x≤23kπ＋π9，k∈Z}
16．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y＝2cosax－π3的最小正周期为T＝2π|a|＝4π，所以|a|＝12，a＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是x|x≠2kπ＋π2，k∈Z，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y＝sinx－π2＝－sin(π2－x)＝－cos x，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．
答案：④
17．解：原式＝sin（180°－x）tan（－x）•1tan（90°－x）tan（90°－x）•cos xsin（－x）＝sin x－tan x•tan x•tan x•－1tan x＝sin x.
18．解：(1)∵|OP|＝452＋－352＝1，
∴点P在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.
(2)原式＝cos α－sin α•tan α－cos α＝sin αsin α•cos α＝1cos α.
由(1)得sin α＝－35，P在单位圆上，
∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54.
19．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x＝sin 2x•cosπ6＋cos 2xsinπ6＋sin 2x•cosπ6－cos 2x•sinπ6＋cos 2x＋1＝3sin 2x＋cos 2x＋1
＝2sin2x＋π6＋1，
∴f(x)min＝2×(－1)＋1＝－1，
最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π.
(2)∵f(x)＝3，∴2sin2x＋π6＋1＝3，
∴sin2x＋π6＝1，
∴2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
∴x＝kπ＋π6，k∈Z，
∴使f(x)＝3的x的取值集合为x|x＝kπ＋π6，k∈Z
20.
∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，整理得x＋2y＝0.
∴y＝－12x.
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
由(1)知x＝－2y，将其代入上式，
整理得y2－2y－3＝0.
解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x＝－6，
21．解：(1)因为函数图像过点(0，1)，
所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.
因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.
(2)由(1)得y＝2sinπx＋π6，
∴当－π2＋2kπ≤πx＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
即－23＋2k≤x≤13＋2k，k∈Z时，y＝2sin(πx＋π6)是增函数，故y＝2sinπx＋π6的单调递增区间为－23＋2k，13＋2k，k∈Z.
(3)由y≥1，得sinπx＋π6≥12，
∴π6＋2kπ≤πx＋π6≤5π6＋2kπ，k∈Z，
即2k≤x≤23＋2k，k∈Z，
∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤23＋2k，k∈Z}．
22．解：(1)y＝f(x)＝ ＝(1＋cos 2x，1)•(1，3sin 2x＋a)＝3sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin2x＋π6＋1＋a.
(2)x∈0，π2，则2x＋π6∈π6，7π6，
所以f(x)的最大值为3＋a＝4，解得a＝1，
此时f(x)＝2sin2x＋π6＋2，其图像可由y＝2sin(x＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍，再将所得图像向上平移2个单位得到．
(3)设M(x，y)为y＝g(x)的图像上任一点，
由函数y＝g(x)的图像和函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，得M(x，y)关于x＝1的对称点M′(2－x，y)在y＝f(x)的图像上，所以y＝g(x)＝f(2－x)＝2sin[2(2－x)＋π6]＋1＋a＝2sin(－2x＋4＋π6)＋1＋a，g(1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a，g(2)＝2sinπ6＋1＋a＝2sin5π6＋1＋a.
∵π2＜2＋π6＜5π6＜π，
∴g(1)＞g(2)．
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